Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

2025-02-14 by admin
Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Memahami Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Artikel ini akan membahas contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran lengkap dengan penyelesaiannya. Mempelajari kedudukan garis terhadap lingkaran sangat penting dalam geometri analitik. Kita akan mempelajari bagaimana menentukan apakah suatu garis memotong, menyinggung, atau berada di luar lingkaran. Siap mengasah kemampuanmu? Yuk, langsung kita mulai!

Menentukan Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Sebelum masuk ke contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran, mari kita ingat kembali rumus dasar yang akan digunakan. Untuk menentukan kedudukan garis ax + by + c = 0 terhadap lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r², kita perlu menghitung jarak (d) dari pusat lingkaran ke garis tersebut. Rumusnya adalah:

d = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)

di mana (x₁, y₁) adalah koordinat pusat lingkaran.

Setelah mendapatkan nilai d, kita bandingkan dengan jari-jari (r) lingkaran:

    1. d > r: Garis berada di luar lingkaran.

    2. d = r: Garis menyinggung lingkaran.

    3. d < r: Garis memotong lingkaran.

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Berikut beberapa contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran dan penyelesaiannya:

Contoh 1:

Tentukan kedudukan garis 3x + 4y - 25 = 0 terhadap lingkaran x² + y² = 25.

Penyelesaian:

  • Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran. Pusat lingkaran (0, 0) dan jari-jari r = 5.

  • Hitung jarak (d) dari pusat lingkaran ke garis menggunakan rumus di atas:

    • d = |3(0) + 4(0) - 25| / √(3² + 4²) = 25 / 5 = 5

  • Bandingkan d dengan r: d = r = 5. Oleh karena itu, garis 3x + 4y - 25 = 0 menyinggung lingkaran x² + y² = 25.

    • Contoh 2:

    Tentukan kedudukan garis x - y + 1 = 0 terhadap lingkaran (x - 2)² + (y + 1)² = 4.

    Penyelesaian:

  • Pusat lingkaran (2, -1) dan jari-jari r = 2.

  • Hitung jarak d: d = |1(2) - 1(-1) + 1| / √(1² + (-1)²) = 4 / √2 = 2√2

  • Bandingkan d dengan r: d ≈ 2.83 > r = 2. Oleh karena itu, garis x - y + 1 = 0 berada di luar lingkaran (x - 2)² + (y + 1)² = 4.

    • Contoh 3:

    Tentukan kedudukan garis 2x + y - 1 = 0 terhadap lingkaran x² + y² = 1.

    Penyelesaian:

  • Pusat lingkaran (0,0) dan jari-jari r = 1.

  • Hitung jarak d: d = |2(0) + 1(0) - 1| / √(2² + 1²) = 1 / √5 ≈ 0.45

  • Bandingkan d dengan r: d ≈ 0.45 < r = 1. Oleh karena itu, garis 2x + y - 1 = 0 memotong lingkaran x² + y² = 1.

    • Tanya Jawab

    Q: Apa yang dimaksud dengan kedudukan garis terhadap lingkaran?

    A: Kedudukan garis terhadap lingkaran menjelaskan hubungan spasial antara sebuah garis dan sebuah lingkaran. Ada tiga kemungkinan kedudukan: garis memotong lingkaran (memiliki dua titik potong), garis menyinggung lingkaran (memiliki satu titik potong), atau garis berada di luar lingkaran (tidak memiliki titik potong). Konsep ini penting dalam geometri analitik untuk menyelesaikan berbagai macam masalah.

    Q: Rumus apa yang digunakan untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran?

    A: Rumus utama yang digunakan adalah rumus jarak titik ke garis, yaitu d = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²), dimana d adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis, (x₁, y₁) adalah koordinat pusat lingkaran, dan ax + by + c = 0 adalah persamaan garis. Jarak ini kemudian dibandingkan dengan jari-jari lingkaran untuk menentukan kedudukannya.

    Semoga contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran di atas bermanfaat! Jangan ragu untuk berlatih lebih banyak soal untuk memperkuat pemahamanmu.

    Related Post