Contoh Soal Permutasi Siklis: Pembahasan Lengkap
Apa Itu Permutasi Siklis?
Permutasi siklis adalah susunan melingkar dari sejumlah objek. Berbeda dengan permutasi biasa, dalam permutasi siklis, posisi awal dan akhir dianggap sama. Oleh karena itu, rumus permutasi siklis berbeda dengan rumus permutasi biasa. Kita akan mempelajari contoh soal permutasi siklis untuk memahami konsep ini lebih dalam.
Rumus Permutasi Siklis
Rumus umum untuk menghitung permutasi siklis dari n objek adalah:
(n-1)!
di mana ! menyatakan faktorial. Faktorial dari sebuah bilangan adalah perkalian bilangan tersebut dengan semua bilangan bulat positif yang lebih kecil darinya (misalnya, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120).
Contoh Soal Permutasi Siklis dan Pembahasannya
Berikut beberapa contoh soal permutasi siklis beserta penyelesaiannya:
Contoh 1:
Berapa banyak cara untuk menyusun 5 orang dalam sebuah lingkaran?
Penyelesaian:
Dalam kasus ini, n = 5. Menggunakan rumus permutasi siklis, kita dapatkan:
(5 - 1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Jadi, ada 24 cara untuk menyusun 5 orang dalam sebuah lingkaran.
Contoh 2:
Ada 6 buku yang berbeda. Berapa banyak cara untuk menyusun buku-buku tersebut pada rak melingkar?
Penyelesaian:
Sama seperti contoh sebelumnya, kita gunakan rumus permutasi siklis. Karena ada 6 buku (n = 6), maka banyaknya cara adalah:
(6 - 1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Jadi, ada 120 cara untuk menyusun 6 buku yang berbeda pada rak melingkar.
Contoh 3 (Soal yang Lebih Kompleks):
Terdapat 8 orang yang akan duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara mereka dapat duduk jika 3 orang tertentu ingin selalu duduk berdampingan?
Penyelesaian:
- Anggap 3 orang tersebut sebagai satu kesatuan: Kita anggap 3 orang yang ingin berdampingan sebagai satu kesatuan. Sekarang kita memiliki 6 entitas (5 orang + 1 kelompok 3 orang).
- Permutasi siklis dari 6 entitas: Susunan 6 entitas ini dalam lingkaran dapat dilakukan dengan (6-1)! = 5! cara.
- Permutasi internal kelompok 3 orang: Ketiga orang dalam kelompok tersebut dapat bertukar tempat dengan 3! cara.
- Total cara: Total cara penyusunan adalah hasil kali dari langkah 2 dan 3: 5! x 3! = 120 x 6 = 720
Jadi, ada 720 cara mereka dapat duduk jika 3 orang tertentu ingin selalu duduk berdampingan.
Perbedaan Permutasi Biasa dan Permutasi Siklis
Perbedaan utama terletak pada penempatan objek. Pada permutasi biasa, urutan objek sangat penting dan perubahan posisi akan menghasilkan susunan yang berbeda. Pada permutasi siklis, urutan relatif penting, tetapi rotasi susunan dianggap sama.
Tanya Jawab
Q: Apa bedanya permutasi siklis dengan kombinasi?
A: Permutasi (termasuk permutasi siklis) memperhatikan urutan objek, sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan. Contohnya, susunan ABC berbeda dengan ACB dalam permutasi, tetapi sama dalam kombinasi.
Q: Bagaimana jika ada objek yang identik dalam permutasi siklis?
A: Rumusnya akan lebih kompleks dan membutuhkan perhitungan pembagian untuk memperhitungkan objek identik. Hal ini akan dibahas pada artikel selanjutnya (link internal ke artikel terkait jika ada).
Kesimpulan
Memahami konsep contoh soal permutasi siklis sangat penting dalam kombinatorika. Dengan memahami rumus dan contoh-contoh soal, Anda akan mampu menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan susunan melingkar. Praktek terus menerus akan meningkatkan pemahaman dan kemampuan Anda.
